Модель эпидемии. Вариант №32
Мажитов М. А.
Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
16 марта 2024
Изучить модель эпидемии и построить её.
Рассмотрим простейшую модель эпидемии. Предположим, что некая популяция, состоящая из N особей, (считаем, что популяция изолирована) подразделяется на три группы. Первая группа - это восприимчивые к болезни, но пока здоровые особи, обозначим их через S(t). Вторая группа – это число инфицированных особей, которые также при этом являются распространителями инфекции, обозначим их I(t). А третья группа, обозначающаяся через R(t) – это здоровые особи с иммунитетом к болезни.
До того, как число заболевших не превышает критического значения I*, считаем, что все больные изолированы и не заражают здоровых. Когда I(t) > I*, тогда инфицирование способны заражать восприимчивых к болезни особей.
Таким образом, скорость изменения числа S(t) меняется по следующему закону:
$$ \frac{dS}{dt}= \begin{cases} -\alpha S &\text{,если $I(t) > I^*$} \\ 0 &\text{,если $I(t) \leq I^*$} \end{cases} $$
Поскольку каждая восприимчивая к болезни особь, которая, в конце концов, заболевает, сама становится инфекционной, то скорость изменения числа инфекционных особей представляет разность за единицу времени между заразившимися и теми, кто уже болеет и лечится, то есть:
$$ \frac{dI}{dt}= \begin{cases} \alpha S -\beta I &\text{, если $I(t) > I^*$} \\ -\beta I &\text{, если $I(t) \leq I^*$} \end{cases} $$
А скорость изменения выздоравливающих особей (при этом приобретающие иммунитет к болезни):
$$\frac{dR}{dt} = \beta I$$
Постоянные пропорциональности α, β - это коэффициенты заболеваемости и выздоровления соответственно. Для того, чтобы решения соответствующих уравнений определялось однозначно, необходимо задать начальные условия. Считаем, что на начало эпидемии в момент времени t = 0 нет особей с иммунитетом к болезни R(0) = 0, а число инфицированных и восприимчивых к болезни особей I(0) и S(0) соответственно. Для анализа картины протекания эпидемии необходимо рассмотреть два случая: I(0) ≤ I* и I(0) > I*
Вариант 32:
На одном острове вспыхнула эпидемия. Известно, что из всех проживающих на острове (N = 11900) в момент начала эпидемии (t = 0) число заболевших людей (являющихся распространителями инфекции) I(0) = 290, а число здоровых людей с иммунитетом к болезни R(0) = 52. Таким образом, число людей восприимчивых к болезни, но пока здоровых, в начальный момент времени S(0) = N − I(0) − R(0). Постройте графики изменения числа особей в каждой из трех групп. Рассмотрите, как будет протекать эпидемия в случае:
если I(0) ≤ I*
если I(0) > I*
Опираясь на теоретический материал построим модели на языке Julia.
В ходе выполнения лабораторной работы была изучена и построена модель эпидемии на языке Julia.
[1] Документация по Julia: https://docs.julialang.org/en/v1/
[2] Решение дифференциальных уравнений: https://www.wolframalpha.com/
[3] Конструирование эпидемиологических моделей: https://habr.com/ru/post/551682/