Докладчик

Цели

Изучить модель эпидемии и построить её.

Теоретическое введение

Рассмотрим простейшую модель эпидемии. Предположим, что некая популяция, состоящая из N особей, (считаем, что популяция изолирована) подразделяется на три группы. Первая группа - это восприимчивые к болезни, но пока здоровые особи, обозначим их через S(t). Вторая группа – это число инфицированных особей, которые также при этом являются распространителями инфекции, обозначим их I(t). А третья группа, обозначающаяся через R(t) – это здоровые особи с иммунитетом к болезни.

Теоретическое введение

До того, как число заболевших не превышает критического значения I^*, считаем, что все больные изолированы и не заражают здоровых. Когда I(t) > I^*, тогда инфицирование способны заражать восприимчивых к болезни особей.

Теоретическое введение

Таким образом, скорость изменения числа S(t) меняется по следующему закону:

$$ \frac{dS}{dt}= \begin{cases} -\alpha S &\text{,если $I(t) > I^*$} \\ 0 &\text{,если $I(t) \leq I^*$} \end{cases} $$

Теоретическое введение

Поскольку каждая восприимчивая к болезни особь, которая, в конце концов, заболевает, сама становится инфекционной, то скорость изменения числа инфекционных особей представляет разность за единицу времени между заразившимися и теми, кто уже болеет и лечится, то есть:

$$ \frac{dI}{dt}= \begin{cases} \alpha S -\beta I &\text{, если $I(t) > I^*$} \\ -\beta I &\text{, если $I(t) \leq I^*$} \end{cases} $$

Теоретическое введение

А скорость изменения выздоравливающих особей (при этом приобретающие иммунитет к болезни):

$$\frac{dR}{dt} = \beta I$$

Теоретическое введение

Постоянные пропорциональности α, β - это коэффициенты заболеваемости и выздоровления соответственно. Для того, чтобы решения соответствующих уравнений определялось однозначно, необходимо задать начальные условия. Считаем, что на начало эпидемии в момент времени t = 0 нет особей с иммунитетом к болезни R(0) = 0, а число инфицированных и восприимчивых к болезни особей I(0) и S(0) соответственно. Для анализа картины протекания эпидемии необходимо рассмотреть два случая: I(0) ≤ I^* и I(0) > I^*

Задание

Вариант 32:

На одном острове вспыхнула эпидемия. Известно, что из всех проживающих на острове (N = 11900) в момент начала эпидемии (t = 0) число заболевших людей (являющихся распространителями инфекции) I(0) = 290, а число здоровых людей с иммунитетом к болезни R(0) = 52. Таким образом, число людей восприимчивых к болезни, но пока здоровых, в начальный момент времени S(0) = N − I(0) − R(0). Постройте графики изменения числа особей в каждой из трех групп. Рассмотрите, как будет протекать эпидемия в случае:

1. если I(0) ≤ I^*

2. если I(0) > I^*